目标轨迹预测作为航空和军事领域的重点研究问题，一直受到学界和工业界的广泛关注^[1-3]。随着近现代信息科学技术的不断发展，目标轨迹预测的方法和模型也在不断更新和改进。目标轨迹预测即利用当前时刻目标的状态信息预测目标下一时刻的状态，该任务可等效地看作针对时间序列的预测问题。飞行目标轨迹预测模型分可为动力学模型^[4-9]、卡尔曼滤波(Kalman filter, KF)算法模型^[10-13]和机器学习模型^[14-16]。

动力学模型根据目标运动的空气动力学方程，对目标的轨迹进行预测，但在现实中，飞行目标往往受到天气、环境等诸多因素的影响^[17]，而且目标飞行过程的受力复杂多变，根据空气动力学建立的目标运动模型对实际情况进行了较大程度的简化，由此导致这类模型对目标轨迹预测的精度较低^[18]。

KF算法模型是一种应用非常广泛且有效的目标轨迹预测方法。Julier等^[11]在1997年提出了扩展KF(extend KF, EKF)算法，该算法不仅继承了KF算法的优势，而且能够处理非线性系统模型。吕波等^[19]利用EKF嵌入非线性控制系统，针对航空器的航迹预测任务建立了多信息EKF预测模型。陈明强等^[20]提出了基于无迹KF的航迹预测模型, 并完成了对飞行目标的航迹预测。然而，在现实的许多目标轨迹预测任务中，一般不能预先指定运动模型，在这种情况下，卡尔曼滤波器的应用受到了严重的限制^[21-22]。此外，KF算法通常是在恒定加速度的假设下应用的，这也是对现实目标运动情况的粗略逼近，这样建立的算法模型对目标轨迹预测的精度有限。为了克服传统KF算法的局限性，许多学者尝试直接从训练数据中学习运动模型。利用可学习模型来学习目标运动方程, 可以避免手工设计KF转移矩阵和测量矩阵，从而提高目标轨迹预测精度。

可学习模型包括以神经网络为代表的机器学习方法，神经网络可通过大量数据学习数据的本质特征，其深层非线性的网络结构能够实现对复杂函数的逼近，在目标轨迹预测方面得到了广泛应用。如钱夔等^[23]用后向传播(back propagation, BP)神经网络对飞机航迹数据进行训练学习，实现了对飞行目标轨迹的预测，但BP神经网络比较简单，预测精度有限。吴一凡等^[24]提出了基于卷积神经网络的飞行航迹预测模型，根据飞行目标的高度和经、纬度信息预测飞行目标的位置信息。

以上所提的模型对目标轨迹预测各有优劣，但都没有利用目标轨迹数据在时序上具有的高度相关性。循环神经网络(recurrent neural network, RNN) 是一种能够提取序列数据特征的经典神经网络模型^[25]，但是由于RNN自身简单的网络结构对于长时间序列的记忆能力较差，Hochreiter等^[26]提出了由RNN改进的长短时记忆(long-short term memory, LSTM)神经网络，由于自身复杂的结构, LSTM模型能够记忆更长的序列数据中蕴含的信息，并在后续处理中加以运用，如今LSTM网络已被广泛应用在各类目标的轨迹预测任务中, 并取得了良好的效果。

本文提出了基于KF算法展开的LSTM神经网络(KF unfolding LSTM network, KFU-LSTM-Net)，该模型将目标状态转移函数建模为可学习的网络，再利用KF对目标状态向量进行修正, 更新得出目标状态预测值。本文所建模型从目标轨迹数据中学习目标运动轨迹和KF算法中的超参数，让模型能够更好地利用深度学习的强大表征能力，在仿真和真实目标轨迹数据实验上验证了本文所提模型对于飞行目标轨迹预测的有效性和准确性。

KF算法是一种基于时域离散的自回归优化算法，其被广泛应用于动态目标的位置、速度等状态信息的预测任务中。设目标状态向量为y_t，观测变量为z_t。根据KF算法，有如下关系式：

(1)$\boldsymbol{y}_t =\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}_{t-1}+\boldsymbol{w}_t$

(2)$\boldsymbol{z}_t =\boldsymbol{H} \boldsymbol{y}_t+\boldsymbol{v}_t$

式中：A是目标状态转移矩阵，代表该系统从t-1时刻到t时刻状态之间的转移关系；H是目标观测矩阵; w_t和v_t是过程噪声和观测噪声，其分别满足正态分布w_t~N(0, Q_t)，v_t~N(0, R_t)。

KF算法通过反馈环路迭代更新求解目标状态向量，该反馈环路包含两个更新步骤：预测步骤和更新步骤。在预测步骤中，KF算法用上一时刻目标的状态向量来预测目标下一时刻的状态：

(3)$\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}=\boldsymbol{A} \hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}$

(4)$\hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}=\boldsymbol{A} \hat{\boldsymbol{P}}_{t-1} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{Q}_t$

在更新步骤中，需要首先计算卡尔曼增益K_t，然后通过观测变量z_t来修正目标在t时刻的状态估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}_t$和协方差矩阵$ \hat{\boldsymbol{P}}_t$：

(5)$\boldsymbol{K}_t=\hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{R}_t\right)^{-1}$

(6)$\hat{\boldsymbol{y}}_t=\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}+\boldsymbol{K}_t\left(\hat{\boldsymbol{z}}_t-\boldsymbol{H} \hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}\right) $

(7)$\hat{\boldsymbol{P}}_t=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_t \boldsymbol{H}_t\right) \hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}$

不同于前馈神经网络，RNN是针对于时序数据进行处理的网络模型。然而，由于梯度消失问题^[27]，早期的RNN模型均很难被训练。为了解决梯度消失或梯度爆炸问题，并使模型可以长期存储时间序列中的有用信息，Hochreiter等^[27]提出了LSTM。LSTM是RNN神经网络的一种特殊的变体，其更改了RNN的神经元结构，在神经元内部增加了遗忘门、输入门、输出门等单元，由此可以通过LSTM神经元获得长时间序列的依赖信息。LSTM的网络结构如图 1所示。

LSTM神经网络是专门为解决长时间序列难以记忆^[28]和梯度消失的问题而引入的，并已成为最广泛使用的网络架构之一。LSTM网络的隐藏层中包含了遗忘门、输入门、输出门，它们不仅控制着信息的流动模式，而且对网络预测的性能而言至关重要^[29-30]。LSTM神经元内部的计算公式如下：

(8)$\boldsymbol{f}_t=\sigma\left(\boldsymbol{W}_{f h} \boldsymbol{h}_{t-1}+\boldsymbol{W}_{f x} \boldsymbol{x}_t+\boldsymbol{b}_f\right)$

(9)$\boldsymbol{i}_t=\sigma\left(\boldsymbol{W}_{i h} \boldsymbol{h}_{t-1}+\boldsymbol{W}_{i x} \boldsymbol{x}_t+\boldsymbol{b}_i\right) $

(10)$\boldsymbol{o}_t=\sigma\left(\boldsymbol{W}_{o h} \boldsymbol{h}_{t-1}+\boldsymbol{W}_{o x} \boldsymbol{x}_t+\boldsymbol{b}_o\right)$

(11)$\widetilde{\boldsymbol{c}}_t=\tanh \left(\boldsymbol{W}_{c h} \boldsymbol{h}_{t-1}+\boldsymbol{W}_{c x} \boldsymbol{x}_t+\boldsymbol{b}_c\right) $

(12)$\boldsymbol{c}_t=\boldsymbol{f}_t \odot \boldsymbol{c}_{t-1}+\boldsymbol{i}_t \odot \tilde{\boldsymbol{c}}_t$

(13)$\boldsymbol{h}_t=\boldsymbol{o}_t \odot \tanh \left(\boldsymbol{c}_t\right)$

式中: σ(·)表示sigmoid激活函数; ⊙代表相同位置元素对应相乘。

(1) 遗忘门：将x_t和h_t－1作为输入，经过sigmoid激活函数σ, 将信息输入到细胞c中，由此来控制细胞对短期记忆的遗忘程度，遗忘门的计算如式(8)所示。

(2) 输入门：输入门包含两个部分，第一部分负责产生新记忆信息$ \tilde{\boldsymbol{c}}_t$，第二部分负责确定新记忆信息的流入比例i_t，两部分输入门分别如式(9)和式(11)~式(12)所示。

(3) 输出门：输出门通过将细胞状态c_t以及输出比例o_t相乘，输出得到该LSTM神经元最终的输出值h_t，如式(10)和式(13)所示。

在本节中，本文将KF算法和LSTM神经网络模型相结合，并由此提出了KFU-LSTM-Net，对目标轨迹进行预测。

根据KF算法，本文建立的目标轨迹预测模型为如下形式：

(14)$\boldsymbol{y}_t=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{y}_{t-1}\right)+\boldsymbol{w}_t $

(15)$\boldsymbol{z}_t=\boldsymbol{y}_t+\boldsymbol{v}_t$

模型根据目标前一时刻的状态估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}$预测出下一时刻目标的状态$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t}$，同时更新当前预测状态的协方差矩阵$ \hat{\boldsymbol{P}}'_{t}$，模型的预测步骤公式为

(16)$\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}=\boldsymbol{f}\left(\hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}\right)$

(17)$\hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}=\boldsymbol{F}\hat{\boldsymbol{P}}_{t-1} \boldsymbol{F}^{\mathrm{T}}+\hat{\boldsymbol{Q}}_t$

式中: 映射函数f(·)通过LSTM网络学习拟合，利用LSTM强大的非线性拟合能力，使得模型可以学习到目标复杂的运动轨迹；F是f关于$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}$的雅克比矩阵; $ \hat{\boldsymbol{Q}}_{t}$为模型中的可学习参数。

模型的更新步骤公式为

(18)$\boldsymbol{K}_t=\hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}\left(\hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}+\hat{\boldsymbol{R}}_t\right)^{-1} $

(19)$\hat{\boldsymbol{y}}_t=\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}+\boldsymbol{K}_t\left(\hat{\boldsymbol{z}}_t-\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}\right)$

(20)$\hat{\boldsymbol{P}}_t=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_t\right) \hat{\boldsymbol{P}}_t^{\prime}$

式中: $ \hat{\boldsymbol{R}}_{t}$是模型中的可学习参数; $ \hat{\boldsymbol{z}}_{t}$是目标在t时刻的观测值。

本文所建网络模型的整体架构如图 2所示，模型中的KFU-LSTM模块的内部结构如图 3所示。在KFU-LSTM模块中，本文设计了LSTM网络来学习状态转移函数f(·)，即将上一时刻目标的状态向量$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}$作为LSTM网络的输入，得到目标在t时刻的初步状态估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}'_{t}$，再将$ \hat{\boldsymbol{y}}'_{t}$和测量状态向量$ \hat{\boldsymbol{z}}_{t}$作为输入，通过KF算法更新计算得出目标在t时刻的最终状态预测向量$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t}$。

从算法展开的角度来看，在每一个时间步长t，LSTM将上一时刻(即t-1时刻)的目标状态估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t-1}$作为输入计算得到$ \hat{\boldsymbol{y}}'_{t}$，由协方差矩阵$ \hat{\boldsymbol{P}}_{t-1}$、$ \hat{\boldsymbol{Q}}_{t}$和$ \hat{\boldsymbol{R}}_{t}$，根据式(17)~式(18)计算出卡尔曼增益K_t；接着，结合LSTM输出的目标状态初步估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}'_{t}$和观测值$ \hat{\boldsymbol{z}}_{t}$，根据式(19)最终计算得出目标在t时刻的状态估计值$ \hat{\boldsymbol{y}}_{t}$。KF算法展开示意图如图 4所示, 其中17~20如式(17)~式(20)所示。

(1) 本文所提网络结构及参数：本文所建网络模型整体架构如图 2所示，模型中的KFU-LSTM模块内部结构如图 3所示。对于KFU-LSTM中的LSTM模块，本文建立了双隐含层的LSTM网络，考虑到网络模型的拟合能力以及模型的计算复杂度和参数量的权衡，本文设定隐含层神经元个数为64，其后添加两个全连接层。LSTM的具体结构如图 5所示。

(2) 网络的损失函数：不同于标准的均方误差损失函数，本文在均方误差函数的基础上增加了目标状态估计的惩罚项，以此来加强网络对于目标状态的估计能力。本文所提出的损失函数定义如下：

(21)$L(\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{T} \sum\limits_{t=1}^T\left\|\boldsymbol{y}_t-\hat{\boldsymbol{y}}_t(\boldsymbol{\theta})\right\|^2+\lambda\left\|\boldsymbol{y}_t-\hat{\boldsymbol{y}}_t^{\prime}(\boldsymbol{\theta})\right\|^2$

式中: θ代表网络中的所有参数，本文实验中超参数λ的设定值为0.5。

(3) 训练策略：本文网络中，所有的权重矩阵用Xavier进行随机初始化^[31]，偏差均初始化为0，目标初始状态估计值为目标起始点y₀，初始状态协方差矩阵$ \hat{\boldsymbol{P}}'_{0}$为单位矩阵I。学习率设定为0.001，采用Adam优化器^[32]，设定训练批尺寸为16。网络模型的训练策略及参数设定如表 1所示。网络模型在数据集上进行训练，从而通过梯度反传自适应地学习网络各参数。本文所有实验均在Windows10(64 bit)操作系统的Pytorch平台中运行，电脑设备硬件配置为Intel Core i7-9750H CPU和NVIDIA GTX 1660Ti。实验环境如表 2所示。

本文所提KFU-LSTM-Net模型针对目标轨迹预测整体流程如图 6所示。

为了验证本文所提出的基于KF算法展开的深度LSTM网络模型对于目标轨迹预测的准确性和有效性，本文模型对目标轨迹仿真数据进行了预测，根据目标轨迹预测结果图和预测误差进行了详细的分析，并在多个数据集上通过数值实验分析对比了基于RNN和LSTM网络的飞行目标轨迹预测方法。

(1) 目标轨迹仿真数据为3种带有随机高斯噪声的三维曲线，其中80%的数据点作为网络模型的训练数据，剩下20%的数据点作为模型的测试数据。参数方程式及取值范围如表 3所示。

(2) 实验使用的真实数据是在FlightAware上的航线日志，即在FlightAware平台上导出csv格式的飞行数据，再利用Python的Pandas库加载实验数据。飞机航迹分为爬升、转弯和平飞3个阶段，数据包含200个采集点，每个采集点包含时间、纬度、经度、高度、航向、节、航速、爬升角共八维数据。本文从中选择经度、纬度和高度这3个航迹指标作为网络模型的输入，进行目标的航迹预测。取80%的数据点作为网络模型的训练数据，将剩下20%的数据点作为模型的测试数据。

为了消除输入数据量纲的影响和提高网络的收敛速率，本文对输入的样本数据进行标准化处理，以提高网络模型预测的准确性和鲁棒性：

(22)$\boldsymbol{y}=\frac{\boldsymbol{x}-\overline{\boldsymbol{x}}}{\sigma}$

式中: x为原样本向量; $ \overline{\boldsymbol{x}}$为样本均值; σ为样本标准差; y为经标准化处理后的样本向量。

在对目标轨迹的预测结束后，可根据式(23)将网络输出的预测结果$ \mathit{\boldsymbol{\hat y}}$进行反标准化处理，以便同目标轨迹真实值相比较：

(23)$\hat{\boldsymbol{x}}=\sigma \hat{\boldsymbol{y}}+\overline{\boldsymbol{x}}$

为验证本文所提KFU-LSTM-Net模型对于目标轨迹预测的有效性和优越性，本文针对3种不同的飞行仿真数据和真实飞行航迹数据进行实验，分别用RNN、LSTM和本文所提KFU-LSTM-Net模型进行预测，RNN和LSTM模型均采用2层隐含层且隐含层神经元个数为64的网络架构，采用Adam训练策略，将学习率设定为0.001，实验结果如图 7所示。从图 7中可以较为直观地看出，相比RNN和LSTM模型，本文所提的KFU-LSTM模型对目标轨迹的预测误差最小，这表示本文方法的预测轨迹更接近于真实轨迹。

此外，为了考察模型的训练收敛情况，本文针对表 2中的3种仿真数据和真实数据，画出网络训练过程中损失随训练轮数的变化曲线图，如图 8所示。从图 8的损失随训练轮数的变化曲线可以看出，本文所提的KFU-LSTM网络模型收敛速度最快，在较小的训练轮数下，KFU-LSTM网络损失已经降低到0.1以下，而LSTM和RNN网络还需要更大的训练轮数才能实现收敛。

为了测试本文所提模型对目标状态预测的精度和不同场景下的表现情况，本文考察了模型对目标轨迹的预测值与真实值的均方误差(root mean square error, RMSE)指标，各模型在仿真数据和真实数据集上预测的RMSE对比如表 4所示。从表 4的结果可以直观地得出，本文所提KFU-LSTM模型较RNN和LSTM模型的RMSE有明显减小，KFU-LSTM模型在3个仿真数据和真实数据集上对飞行目标轨迹预测的精度都超过了RNN和LSTM模型。由此表明了本文所提的模型在目标轨迹预测精度上的显著提升，验证了本文KFU-LSTM模型相较RNN和LSTM网络在目标轨迹时序预测上的优越性和有效性。

本文提出并建立了由KF算法展开的LSTM神经网络模型，并将该模型应用到飞行目标轨迹预测的任务中。本文所建立的模型能够学习飞行目标复杂的运动模型。相较于传统的KF算法只能用于估计线性运动模型，本文所提模型将目标状态转移函数建模为可学习的网络，再利用KF算法对目标预测状态进行修正更新，因此能够对目标复杂的非线性运动轨迹进行良好的估计和预测。另一方面，通过KF算法更新的方式将LSTM预测和观测向量结合起来，即隐式学习了目标所有可能的运动路径，这种方式不仅避免了显式建模目标运动轨迹方程，还能利用深度神经网络强大的学习表征能力从数据中学习模型中的超参数。相较于以RNN、LSTM等为代表的深度学习方法，本文所建立的模型对目标轨迹预测的精度更高。

本文构建了传统KF算法和深度学习之间联系的桥梁，将KF算法和深度网络有机地结合起来，不仅克服了传统模型建模不准确和深度学习方法对数据的严重依赖性，而且提高了模型与算法的可解释性，加快了网络的收敛速度，在仿真数据和真实数据上的实验结果验证了本文所提的基于KF算法展开网络模型对飞行目标轨迹预测的有效性与优越性。